「 カスチリアノの定理 」

　外力$$W_1，W_2，W_3，\cdots$$　が作用して物体に貯えられる弾性エネルギー$$\bar{U}（W_1，W_2，W_3，\cdots）$$　で表せば、荷重$$W_i$$の作用点の荷重方向の変位$$\lambda_i$$は次式で表される。

       $$\lambda_i = \frac{\partial \overline{U}}{W_i}$$

［例題］　図のように強さ$$q$$の一定の分布荷重をはりの半分に受ける一端支持、一端固定のはりがある。この場合に支点Aに作用する反力をカスチリアノの定理によって求めよ。

［解答］カスチリアノの定理を応用するためにはまずはりに貯えられる弾性エネルギーを求めなければならない。支点Aにおける反力を$$R_A$$とすれば、はりに作用する曲げモーメントは、

       $$M=R_A x – \frac{q x^2}{2}\ ,\ \frac{l}{2} > x > 0$$

       $$M=R_A x – \frac{q l}{2}\left[ x-\frac{l}{4} \right] \ ,\ l > x > \frac{l}{2}$$

　したがって、はりに貯えられる弾性エネルギーを求める式から、

       $$\overline{U}=\frac{1}{2EI} \left[ \int_0^\frac{l}{2} \left(R_A x – \frac{qx^2}{2}\right)^2 dx + \int_\frac{l}{2}^{l}  \biggl \{ R_A x – \frac{ql}{2} \left( x – \frac{l}{4} \right)  \biggr \} dx \right]$$

　ここで、支点Aにおける変位は0であるから、カスチリアノの定理によって、

       $$\frac{d\overline{U}}{dR}=0$$

すなわち、

       $$U=\int_0^\frac{l}{2} \left[ R_A x -\frac{qx^2}{2} \right] x dx  + \int_\frac{l}{2}^l \left[ R_A x – \frac{ql}{2} x + \frac{ql^2}{8}\right] x dx$$

　上式を積分して$$R_A$$を求めると、

       $$R_A = \frac{41}{128}ql$$