「 角加速度 」

　曲線運動において角速度が一定でないときは、初めの角速度を$$\omega_1$$、時間t経過後
を$$\omega_2$$とすると、角加速度$$\dot{\omega}$$は次の式で表される。

　　角加速度：$$\dot{\omega}=\frac{\omega_6  – \omega_1}{t}〔rad / s^2〕$$

［例題］　図のように水平と$$i_1、i_2$$の角度をなす二つの斜面に質量$$m_1、m_2$$の二つの物体が滑車を介して質量の無視できる糸で接続されている。いずれの斜面の動摩擦係数も$$n$$とし$$m_1 ＞ m_2、i_1 ＞ i_2$$としたときに斜面を運動する質量$$m$$の物体の加速度$$\alpha$$は次のどれになるか。なお、重力の加速度を$$g$$とし、糸の伸びは無視する。［技術士一次］

\begin{eqnarray}
(1)&& g[m_1(\sin\theta_1 +\mu\cos\theta_1)-m_2(\sin \theta_2 +\mu \cos\theta_2)/(m_1+m_2)] \\
(2)&& \mu gm_1(\sin\theta_1-\sin\theta_2)/(m_1 +m_2) \\
(3)&& \mu gm_1(\cos\theta_1-\cos\theta_2)/(m_1 +m_2) \\
(4)&& g[m_1(\sin\theta_1-\mu\cos\theta_1)-m_2(\sin\theta_2-\mu\cos\theta_2)] \\
(5)&& g[m_1(\cos\theta_1-\mu\sin\theta_1)-m_2(\cos\theta_2+\mu\sin\theta_2)]\\
\end{eqnarray}

［解説］

糸の張力は至るところで一様であると考えられるので、これを$$T$$とし、質量$$m_1、m_2$$の二つの物体のつりあいを考える。

　設問から、$$m_1＞m_2、\theta_1＞\theta_2$$が与えられているので、次の式が成立する。

\begin{eqnarray}
　T&=& m_1 g\sin\theta_1-m_2 g\sin\theta_2-(\mu m_1 g\cos\theta_1＋\mu m_2 g\cos\theta_2) \\
　&=& g[m_1(\sin\theta_1-\mu\cos\theta_1)-m_2(\sin\theta_2-\mu\cos\theta_2)] \hspace{3cm} \cdots ①
\end{eqnarray}

　ここで、ニュートンの運動の第二法則から、$$F=T=m\alpha$$により、

　$$\alpha＝T/m \hspace{3cm} \cdots ②$$

　さらに、$$m＝m_1＋m_2\hspace{3cm} \cdots ③$$

　②、③を①に代入すると、

　$$\alpha＝g[m_1(\sin\theta_1＋\mu\cos\theta_1)-m_2(\sin\theta_2＋\mu\cos\theta_2)]/(m_1＋m_2)$$

となり、(1)が正解である。