慣性モーメント
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- かんせいもーめんと
物体が持っている、運動を持続しようとする力。“慣性”とは物体に外力を加え、ある速度で運動したとき、この速度を持続しようとする性質をいい、“モーメント”とは“勢い、運動”などの意味がある。いま、質量$$m〔\mathrm{kg}〕$$の物体が速度$$v〔\mathrm{m/s}〕$$で運動しているときの仕事(運動エネルギー)は、次式で表される。
仕事$$=\frac{1}{2}mv^2〔\mathrm{J}〕$$
これを回転運動について考えると、$$m〔\mathrm{kg}〕$$の物体が軸(円の中心)から$$r〔\mathrm{m}〕$$の距離で$$n〔\mathrm{s^{-1}}〕$$で回転しているとすれば、速度$$v$$は、
$$v=2 \pi rn〔\mathrm{m/s}〕$$
であり、運動エネルギーを$$A$$とすると、
$$A=\frac{1}{2}m{(2 \pi rn)}^2=\frac{1}{2}mr^2{(2 \pi n)}^2$$
$$=\frac{1}{2}mr^2 \omega^2〔\mathrm{J}〕$$
ただし、$$\omega (角速度)=2 \pi n〔\mathrm{rad/s}〕$$
上式の$$mr^2$$は回転数に関係ない定数で、この値を回転軸に対する慣性モーメントという。一般に$$J$$という記号で表され、次式となる。
$$A=\frac{1}{2}J \omega^2〔\mathrm{J}〕.$$
質量$$M$$なる物体の微小部分の質量を$$\mathrm{d}M$$、その部分と特定点Oとの距離を$$r$$とするとき、$$r^2$$と$$\mathrm{d}M$$の積の物体の全部分についての総和を点Oに関する極慣性モーメント[polor moment of inertia]を$$I_O$$として積分することによって求められる。
$$I_O = \int r^2 \mathrm{d}M$$
ここで、微小部分と特定の軸$$A$$との距離を$$a$$とするとき、
$$I_A = \int a^2 \mathrm{d}M$$
により得られる$$I_A$$を物体の軸Aに関する慣性モーメントという。物体の全質量を$$M$$とすると、軸から$$k$$の距離に全質量が集まったと考えれば次式となる。
$$I = k^2 M$$
$$\therefore k = \sqrt{\frac{l}{M}}$$
$$k$$を回転半径という。
表6 - 4 種々の物体の慣性モーメント
名 称 | 形状と軸 | 重心を通る軸の回りの慣 性モーメント$$I〔\mathrm{m^2 \cdot kg}〕$$ |
回転半径$$k 〔\mathrm{m}〕$$ |
く形板 |
$$I_x = \frac{b^2}{12}M $$ $$\\$$ $$I_y = \frac{a^2}{12}M $$ $$\\$$ $$I_z = \frac{a^2 + b^2}{12}M$$ |
$$\frac{b}{2 \sqrt{3}}$$ $$\\$$ $$\frac{a}{2 \sqrt{3}}$$ $$\\$$ $$\sqrt{\frac{a^2 +b^2}{12}}$$ |
|
円 板 |
$$I_x = I_y = \frac{r^2}{4}M$$ $$\\$$ $$I_z = \frac{r^2}{2}M$$ |
$$\frac{r}{2}$$ $$\\$$ $$\frac{r}{\sqrt{2}}$$ |
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球 | 半径$$r$$ | $$I = \frac{2}{5}r^2 M$$ | $$\sqrt{\frac{2}{5}}r$$ |
中空の球 | 外半径= $$R$$$$\\$$ 内半径=$$ r$$ |
$$I=\frac{2}{5} \frac{R^3 – r^3}{R^3+r^3}M$$ | $$\sqrt{\frac{2}{5}\frac{R^5 – r^5}{R^3 -r^3}}$$ |
直円柱 |
$$I_z = \frac{r^2}{2}M$$$$\\$$ $$I_x = \frac{3r^2 + h^2}{12}M$$ |
$$\frac{r}{\sqrt{2}}$$ $$\\$$ $$\sqrt{\frac{3r^2 + h^2}{12}}$$ |
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円 環 (中空直円柱) |
$$I_z = \frac{R^2 + r^2}{2}M$$ | $$\sqrt{\frac{R^2 + r^2}{2}}$$ |
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